Вариантов может быть множество:
1. Кошка загрызет шиншиллу.
2. Кошка будет постоянно охотиться на шиншиллу, а та будет жить в постоянном стрессе - проживет при этом мало.
3. Кошка с шиншиллой не будут даже замечать друг друга.
4. Шиншилла больно покусает кошку и будет периодически ее терроризировать, при каждой попытке кошки познакомиться поближе.
5. Шиншилла-самец выберет кошку постоянным объектом сексуальных домогательств - кролики при этом "отдыхают"!
6. Кошка с шиншиллой подружатся...

К тому же:
- кошка (собака, крыса, кролик, морская свинка, др.) дневное животное, а шиншилла ночное - они скорее всего будут друг другу мешать;
- если кошка выходит гулять за пределы квартиры, то она наверняка заразит шиншиллу чем-то, что для самой кошки болезнь, а для шиншиллы верная смерть (например, сальмонеллез).

И вывод, если у вас уже живет кто-то, не заводите шиншиллу! Не мучайте животное!